Jørgen Kelstup blev født den 25. januar 1913 i Kolding som søn af manufakturhandler Holger Kristian Mikkelsen Kelstrup og hustru Alma, født Dreyer. Han fik mellemskoleeksamen fra Kolding Gymnasium, kom i handelslære i Vejle og blev ansat i et konfektionsfirma i Hjørring. Han aftjente sin værnepligt ved Livgarden i 1933 og fortsatte derefter sin uddannelse i England. Herefter havde han forskellige ansættelser i Herning og Randers. I 1940 indtrådte Jørgen Kelstrup i sin fars firma i Kolding. Han blev prokurist 1942 og var aktiv spejder og medlem af Sct. Georgs Gildet i Kolding.

Jørgen Kelstrups indsats i Modstandsbevægelsen står for det meste hen i det uvisse. Normalt angives det, at han var tilknyttet den bladgruppe i Kolding, der udgav det illegale blad Budstikken for Kolding og Omegn. Dette virker dog usandsynligt, da bladgruppen blev stoppet allerede i december 1943, og Jørgen Kelstrup først blev arresteret d. 5. april 1944 i Kolding. I Gestapos anholdelsesarkiv oplyses det kort, at han blev arresteret efter tysk ordre fra København. Dette kunne tyde på, at Jørgen Kelstrups arbejde i modstandsbevægelsen havde direkte forbindelse til København, måske i form af efterretningsvirksomhed.

Selv om både Jørgen Kelstrup og Poul Seidenfaden boede i samme bygningskompleks i Kolding, er der intet, der tyder på, at de har haft kendskab til hinandens arbejde i Modstandsbevægelsen.

Efter sin arrestation blev Kelstrup sendt til Vestre Fængsel i København, og efter ophold i Horserød og Frøslevlejren blev han sammen med Poul Seidenfaden og andre modstandsfolk deporteret til koncentrationslejren Neuengamme den 15. september 1944. Her fik han fangenummer 50.544. Fra Neuengamme blev han sendt videre til Neuengammes satellitlejr Porta Westfalica, hvor han blev syg og sendt tilbage til Neuengamme i november 1944. Her døde Jørgen Kelstrup af en lungebetændelse.